Конспект просмотренного 3

June Huh — g-conjecture (+ extra footage)

  • Милая гипотеза про многогранники, которые триангулируют сферы. Берём триангуляцию, считаем число симплексов, строим что-то типа треугольника Паскаля — с одной стороны единички, с другой эти числа симплексов (также называется как f-vector). А строчки дальше строятся через разность двух элементов сверху. И внизу получим h-vector.
  • Последнее число в этом векторе — это эйлерова характеристика сферы.
  • Гипотеза такая, что h-vector унимодален (и наверно даже лог-выпуклый, вообще есть целая серия таких гипотез, многие из которых Джюн Ху и доказал.)
  • Дополнительно погуглил и узнал, что f-vector унимодален только до размерности 19, в размерности 20 есть контрпример.
  • Судя по тому, что g и h разные буквы, и то, что в интернете формулировка гипотезы вообще другая, он ещё много чего здесь не рассказал, ну и ладно.

С. О. Горчинский — Квадратичные формы, K-группа Милнора и группа Брауэра — Занятия 2 и 3

  • Сергей ввёл символ Гильберта и К-группу Милнора, и доказал теорему Минковского-Хассе для форм с 3 переменными.

Dror Bar-Natan — Algebraic Knot Theory, 2017 — Lecture 5, Gentle

  • Дрор показал очень быстрый способ вычислить многочлен Джонса, через танглы (плетения, tangles), надо разобраться в нём, для опыта работы с Mathematica

А. Г. Кузнецов — Системы корней и диаграммы Дынкина — Занятия 1-4

  • классика
  • рассказал про системы корней, собственно
  • и даже показал, почему они именно такие (для классов A, D и E)

Николай Вавилов — Алгебры картановского типа — Лекция 1

  • Когда-то давно смотрел уже эту лекцию, но решил пересмотреть ещё раз
  • Тут обзор тех же алгебр, что связаны с системами корней, только в случаях, когда у поля характеристика не ноль

Николай Вавилов — Исключительные объекты в алгебре и геометрии — Лекция 1

  • Прикольная лекция про всякие объекты, которых вроде бы и не должно быть, но из-за, так сказать, случайных изоморфизмов, между объектами из разных серий, получаются исключения

А. Г. Кузнецов — Пространства модулей кривых и инварианты Громова–Виттена — Занятия 1-2

  • Немного узнал про инвариант Громова-Виттена, не сказать, что понял что это
  • Понял, что его можно иногда быстро посчитать
  • И что он может быть удобен для подсчёта чего-нибудь в геометрических пространствах
  • Для подсчёта каких-нибудь кривых, например, через подсчёт пересечений

Дмитрий Орлов — Конечномерные алгебры и представления колчанов — Занятие 1

  • Дмитрий рассказал про колчаны, что это, как они разлагаются

Г. Ю. Панина — Дискретная теория Морса — Занятия 1-4

  • Пермутоэдр — это стягиваемая штука
  • Прикольный комплекс несвязных графов
  • Гаянэ показала как считать гомологии дискретной теории Морса
  • Ещё были примеры про проективную плоскость, про выпуклые многогранники (которые на сфере), про сферы Бира
  • Вообще можно выяснить, является ли что-нибудь сферой
  • Теорема Милнора в дискретном случае легко доказывается
  • Был ещё пример с гомологической сферой Пуанкаре
Реклама

TODO: Минимально возможные контрпримеры

У каждой вариации гипотезы в сюжете cycle double cover есть какой-то свой минимальный возможный контрпример, к которому всё сводится. Например, для cdc это снарк с большим girth (обхватом). У ориентированных вариантов вроде как к снаркам даже не сводится. В этом посте я систематически попробую выписать все обобщения и где у кого какой контрпример.

TODO: PPDC — perfect path double cover

Одна из тем, которые меня интересуют, это всякие разные вариации на тему cycle double cover — двойное покрытие циклами, и на тему гипотезы Грэма-Хэггквиста (Graham-Häggkvist conjecture). Обе эти гипотезы ещё не доказаны. Но у них в каком-то виде есть один общий родственник, а именно, конструкция perfect path double cover, которая есть у каждого (простого) (связного) графа. Эта штука красиво доказывается и строится по индукции.

Здесь я планирую разместить доказательство, придуманное Hao Li в статье «Perfect path double covers in every simple graph» — https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/jgt.3190140604
Потом запрограммирую это решение, потом подумаю для себя немного над тем, как можно было бы попробовать это решение как-нибудь усилить или обобщить, например. Вряд ли получится, но должно быть весело.

Сложность в том, что даже самая простая идея добавить ориентацию на эти пути — уже не доказана, хотя вроде бы работает. Про антиориентацию сейчас не вспомню, вроде бы я как-то строил контрпример, надо будет освежить. Вариант EPPDC мне кажется довольно неестественным. Может можно придумать какое-то развитие сюжета на матроиды? Или, как вариант, как-нибудь усилить PPDC для графов без мостов?

Кстати, интересно, почему-то никогда не пробовал поизучать антиориентированный вариант ocdc. Возможно потому, что тогда придётся требовать чётной длины для всех циклов, а граф Петерсена ими накрыть не получится.

Конспект просмотренного 2

Александр Смирнов — Рассказы о теории чисел — Лекция 1 — https://www.lektorium.tv/lecture/13139

  • Вводная лекция, но в конце неё (и ещё в начале следующей) Александр напомнил про сюжет, который называется «арифметическая топология», про связь между простыми числами и узлами. Что символ Лежандра — это то же самое, что и коэффициент зацепления между узлами. Последний не зависит от перестановки узлов, и это совсем элементарно показывается, там строятся поверхности Зейферта, а в пересечении отрезки.

С. О. Горчинский — Квадратичные формы, K-группа Милнора и группа Брауэра — Занятие 1 — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=18242&option_lang=rus

  • Сергей рассказал про общий вид квадратичных форм, в аффинном и в проективном случае
  • Про то, что правильнее выписать форму как 1 - ax^2 - by^2

Н. С. Калинин — Модель пересыпания песка и дивизоры на графах. Занятие 4 — http://www.mathnet.ru/present17913

  • Никита снова рассказал строго, что в центре прямоугольника будет область из двоек
  • Рассказал про случай, когда мы просто сыпем весь песок в одну и ту же точку, что весь песок будет лежат в круге с радиусом порядка \sqrt{n}, где n — это сколько мы песка насыпали
  • И ещё рассказал про то, что если отмасштабировать это всё на корень, и глянуть на предел, то он существует. Потому что там вторые производные, оператор Лапласа, ковёр Аполлония вот это всё. Про последние две вещи я как-то давно читал в брошюре Кириллова «Повесть о двух фракталах».

TODO: Берж-Фалкерсон vs 4-членное соотношение

Это исследовательский пост. Здесь я буду изучать возможную связь между ориентированным вариантом гипотезы Бержа-Фалкерсона и 4-членным соотношением на хордовых диаграммах. В самом посте я опишу объекты, с которыми буду играться, а в комментах буду писать обновления по этому направлению исследования.

Детально пост я распишу чуть позже. Пока что просто анонс для себя.

Что имеем в качестве объекта: 3-регулярный (кубический, трёхвалентный) граф, все степени вершин равны 3, без мостов. По теореме Петерсена известно, что у таких графов есть идеальные паросочетания (и не одно на самом деле, вроде бы даже экспоненциально много, хотя практика показывает, что экспонента растёт медленно). Идеальное паросочетание — это набор рёбер, что каждая вершина графа принадлежит ровно одному ребру из этого набора.

Любой из цветов на этом графе даёт идеальное паросочетание

Возьмём несколько идеальных паросочетаний в этом графе и посчитаем, сколько раз будет взято каждое из рёбер, будем называть это покрытием рёбер. Гипотеза Бержа-Фалкерсона говорит о том, что можно найти 6 идеальных паросочетаний, что каждое ребро будет покрыто ровно 2 раза. Чем это может быть полезно? Ну так сходу кажется непонятно, но, во-первых, это красиво : )

Так, ладно, пост допишу потом, а пока что приступлю к программированию.

Конспект просмотренного 1

Н. С. Калинин — Модель пересыпания песка и дивизоры на графах. Занятие 3 — http://www.mathnet.ru/present17912

  • Никита доказал, что возвратные состояния в модели пересыпания песка образуют группу. И нашёл единицу. И показал, что если взять длинный прямоугольник, то в центре будет область из двоек.

Dror Bar-Natan — Algebraic Knot Theory, 2017 — Lecture 4, Gentle — http://drorbn.net/dbnvp/AKT-170117-1.php

  • Дрор рассказал о том, как можно вывести многочлен (полином) Джонса через скобку Кауффмана. Это кажется не самый правильный способ вывода, изначально Джонс вообще изучал алгебры фон Нойманна (не знаю что это). Но если выводить правильно, то это заняло бы много времени.
  • Дрор показал полезный приём — сначала посмотреть как ведёт себя инвариант на R2 (третье движение Рейдемейстера), потом на R3, и только потом на R1.
  • Проверил инвариант в Mathematica.
  • И ввёл в конце лекции алгебру Темперли-Либа (наконец-то узнал, откуда она берётся и зачем). И кажется может показать через Mathematica перебор чисто по нескольким элементам этой алгебры, чтоб показать, что инвариант работает на движения Рейдемейстера (и тогда он будет работать на всех узлах). Но это видимо в следующей лекции.

Привет

Привет!

Здесь будут неструктурированные тексты про мои попытки изучить что-то в математике.

Мой бэкграунд довольно скромный для математика, который был бы готов делать ресёрч — я изучал в универе линал, немного функана на уровне функциональных пространств (никаких С*-алгебр, например), комплексный анализ на уровне взятия производных и интегралов по контурам, и были курсы по ODE и PDE. В общем, такая немного старая классическая математика столетней давности. Что-то изучал потом лично, например, какие-то основы теории категории, основы топологии. Почти ничего не знаю . А интересы вообще лежат в комбинаторике и теории графов, причём эта часть теории находится немного сбоку от, скажем так, обычной или нормальной математики (например, геометрии; хотя это немного спорно, может я напишу об этом потом). Часто не хватает интуиции для понимания результатов. И всё это хотелось бы исправить. Здесь я буду делиться всяким неструктурированным, в попытках зафиксировать мой прогресс, скажем так. Может и получится чего.

При этом, скажем, как-то не хватает мотивации, скажем, взять да прошерстить Хартсхорна. Потому что я открываю его, скажем, читаю немного, а потом не понимаю, зачем это делаю. Или Атья-Макдональда. Или ещё сотню другую книг. Лучше всего в этом плане получилось с книгой Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях» — https://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf — вот у неё для меня оказался идеальный ритм. И ещё наполовину прочитал и прорешал Aluffi «Algebra: Chapter 0». При этом всё равно остаётся громадный интерес к математике, например, очень хочется как-то разобраться в теории узлов, или в moonshine conjecture. Или есть ощущение, что не хватает математической культуры или познаний в алгебрах Ли. And so on and so on.

Поэтому у меня будет несколько целей:

  1. Какие-то части математики я изучаю через просмотр видео и, надеюсь, некоторую последующую работу с изученным, например, в виде упражнений. Сейчас — это просмотр лекций с ЛШСМ — летняя школа «Современная математика» — https://www.mccme.ru/dubna/ — и просмотр лекций с Лекториума.
  2. Понятно, что всю математику изучить не получится. Её слишком много. Одних только теорий «поля из одного элемента» где-то 30 штук.
    Но есть идея, скажем, взять какую-нибудь красивую глубокую теорему, которая меня очень сильно интересует, и чьё доказательство я не понимаю, и попытаться всячески раскрутить это доказательство, изучая нужные мне куски математики.
  3. Есть ещё пачка личных исследований на компе, в теории графов. Я ничего там не доказал, кажется, за 5 лет, но есть куча всяких разных мелких экспериментов, которые могут представлять некоторый интерес. Есть надежда, что придумаю какой-нибудь интересный подход, или мой выложенный код кому-то пригодится, или ещё что-нибудь.

В конечном счёте есть такая мечта, что я чего-то найду интересного в математике, используя всякие разные методы интересные. А потом поделюсь подробным планом — как я смог дойти до жизни такой, чтоб такой текст был адресован человеку, который находится примерно там же, где нахожусь сейчас я.

Пока как-то так.